Как начертить правильный тетраэдр. Как из бумаги сделать тетраэдр? I. Подготовительный этап

Тетраэдр – самая простая фигура из многоугольников. Он состоит из четырех граней, каждая из которых представляет собой равносторонний треугольник, при этом каждая из сторон соединяется с другой всего лишь одной гранью. При изучении свойств этой трехмерной геометрической фигуры для наглядности лучше всего сделать модель тетраэдра из бумаги.

Как склеить тетраэдр из бумаги?

Для построения простого тетраэдра из бумаги нам понадобится:

  • собственно бумага (плотная, можно использовать картон);
  • транспортир;
  • линейка;
  • ножницы;
  • клей;
  • тетраэдр из бумаги, схема.

Ход работы

  • если бумага очень плотная, то по местам сгибов следует провести твердым предметом, например, ребром линейки;
  • для того, чтобы получить разноцветный тетраэдр, можно раскрасить грани или выполнить развертку на листах цветной бумаги.

Как из бумаги сделать тетраэдр без склеивания?

Предлагаем вашему вниманию мастер-класс, в котором рассказывается, как собрать 6 тетраэдров из бумаги в единый модуль при помощи техники оригами.

Нам понадобится:

  • 5 пар квадратных листов бумаги различных цветов;
  • ножницы.

Ход работы

  1. Каждый лист бумаги делим на три равные части, разрезаем и получаем полосы, соотношение сторон в которых 1 к 3. В результате получаем 30 полос, из которых и будем складывать модуль.
  2. Кладем полосу пред собой лицевой стороной вниз, вытянув по горизонтали. Сгибаем пополам, разворачиваем и подгибаем к середине края.
  3. На дальнем правом краю сгибаем угол так, чтобы сделать стрелку, поведя ее на 2-3 см от края.
  4. Аналогичным образом сгибаем левый угол (фото как из бумаги сделать тетраэдр 3).
  5. Перегибаем правый верхний угол маленького треугольничка, который получился в результате предыдущей операции. Таким образом, боковые стороны сложенного края окажутся под одинаковым углом.
  6. Разворачиваем полученную складку.
  7. Разворачиваем левый уголок и по уже имеющимся линиям сгиба заворачиваем угол внутрь как показано на фото.
  8. В правом углу сгибаем верхний край вниз таким образом, чтобы он пересекся со складкой, сделанной во время операции №3.
  9. Внешний край еще раз заворачиваем направо, используя складку, выполненную в результате операции №3.
  10. Предыдущие операции повторяем с другого конца полоски, но так, чтобы маленькие складочки оказались на параллельных концах полоски.
  11. Полученную полоску складываем пополам по длине и даем ей немого раскрыться самопроизвольно. Точный угол раскрытия станет понятен потом, при окончательной сборке модели. Элемент готов, теперь аналогичным образом делаем еще 29.
  12. Звено переворачиваем таким образом, чтобы во время сборки была видна его внешняя сторона. Соединяем два звена, вставив язычок в кармашек, образованный маленьким внутренним углом.
  13. Соединенные звенья должны образовывать угол в 60 ⁰, под которым будут присоединяться и другие звенья (фото как из бумаги сделать тетраэдр 13).
  14. Добавляем третье звено ко второму, а второе соединяем с первым. Получается конец фигуры, на вершине которой соединяются все три ее звена.
  15. Аналогичным образом добавляем еще три звена. Первый тетраэдр готов.
  16. Углы у готовой фигуры могут быть не совсем одинаковыми, поэтому для более точной подгонки следует оставлять открытыми отдельные углы всех последующих тетраэдров.
  17. Между собой тетраэдры следует соединять так, чтобы угол одного проходил сквозь отверстие в другом.
  18. Три соединенных между собой тетраэдра.
  19. Четыре соединенных между собой тетраэдра.
  20. Модуль из пяти тетраэдров готов.

Если вы справились с тетраэдром, можно продолжить и смастерить

|
тетраэдр, тетраэдр формулы
Тетра́эдр (др.-греч. τετρά-εδρον - четырёхгранник , от др.-греч. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες - «четыре» + др.-греч. ἕδρα - «седалище, основание») - простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани - равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.

  • 1 Свойства тетраэдра
  • 2 Типы тетраэдров
  • 3 Объём тетраэдра
  • 4 Тетраэдры в микромире
  • 5 Тетраэдры в живой природе
  • 6 Тетраэдры в технике
  • 7 Примечания
  • 8 См. также

Свойства тетраэдра

  • Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
  • Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.:216-217

Типы тетраэдров

Помимо правильного тетраэдра, выделяют следующие специальные виды тетраэдров.

  • Равногранный тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники.
  • Ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.
  • Прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой.
  • Каркасный тетраэдр - тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий:
    • существует сфера, касающаяся всех ребер,
    • суммы длин скрещивающихся ребер равны,
    • суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
    • окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
    • все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, - описанные,
    • перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
  • Соразмерный тетраэдр, бивысоты которого равны.
  • Инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Объём тетраэдра

Объём тетраэдра (с учётом знака), вершины которого находятся в точках, равен:

Или, где – площадь любой грани, а – высота, опущенная на эту грань.

Через длины рёбер объём тетраэдра выражается с помощью определителя Кэли-Менгера:

Тетраэдры в микромире

  • Правильный тетраэдр образуется при sp3-гибридизации атомных орбиталей (их оси направлены в вершины правильного тетраэдра, а ядро центрального атома расположено в центре описанной сферы правильного тетраэдра), поэтому немало молекул, в которых такая гибридизация центрального атома имеет место, имеют вид этого многогранника
  • Молекула метана СН4
  • Ион аммония NH4+
  • Сульфат-ион SO42-, Фосфат-ион PO43-, Перхлорат-ион ClO4- и многие другие ионы
  • Алмаз C - тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем
  • Флюорит CaF2, тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем
  • Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем
  • Комплексные ионы -, 2-, 2-, 2+
  • Силикаты, в основе структур которых лежит кремнекислородный тетраэдр 4-

Тетраэдры в живой природе

Тетраэдр из грецких орехов

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Тетраэдры в технике

  • Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
  • Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
  • Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр.

Примечания

  1. Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «τετρά-εδρον»
  2. Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: 86 томах (82 т. и 4 доп.). - СПб., 1890-1907.
  3. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1985. - 232 с.
  4. В. Э. МАТИЗЕН Равногранные и каркасные тетраэдры «Квант» № 7, 1983 г.
  5. http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Триггер

См. также

  • Симплекс - n-мерный тетраэдр

тетраэдр, тетраэдр, тетраэдр, тетраэдр вид сбоку, тетраэдр вид сбоку, тетраэдр вид сбоку, тетраэдр гэж юу вэ, тетраэдр гэж юу вэ, тетраэдр гэж юу вэ, тетраэдр дүрс, тетраэдр дүрс, тетраэдр дүрс, тетраэдр из бумаги, тетраэдр из бумаги, тетраэдр из бумаги, тетраэдр картинки, тетраэдр картинки, тетраэдр картинки, тетраэдр определение, тетраэдр определение, тетраэдр определение, тетраэдр формулы, тетраэдр формулы, тетраэдр формулы, тетраэдр чертеж, тетраэдр чертеж, тетраэдр чертеж, тетраэдр шаблон, тетраэдр шаблон, тетраэдр шаблон

Тетраэдр Информацию О

Правильный тетраэдр. Составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180?. Рис. 1.

Картинка 4 из презентации «Многогранник 2» к урокам геометрии на тему «Правильный многогранник»

Размеры: 445 х 487 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать картинку для урока геометрии, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Для показа картинок на уроке Вы также можете бесплатно скачать презентацию «Многогранник 2.ppt» целиком со всеми картинками в zip-архиве. Размер архива - 197 КБ.

Скачать презентацию

Правильный многогранник

«Доказательство теоремы Пифагора» - Доказательство Евклида. Доказательства теоремы. Алгебраическое доказательство. Геометрическое доказательство. Значение теоремы Пифагора. Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век. Формулировка теоремы. Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии.

«Правильные многогранники» - Правильный октаэдр. Правильный додекаэдр. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Названия многогранников. Кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба. Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников.

«История геометрии» - VI век до нашей эры. В геометрии много формул, фигур, теорем, задач, аксиом. Средние века. Фалес предложил способ определения расстояния до корабля на море. Древний Египет. В целом творение Евклида величественно. Фалес вычислил высоту египетской пирамиды Хеопса по длине отбрасываемой тени. В геометрии Любачевского сумма углов треугольника меньше 180°, в ней нет подобных фигур.

«Угол между векторами» - Рассмотрим направляющие прямых D1B и CB1. Найти угол между прямыми ВD и CD1. Косинус угла между векторами. Найдем координаты векторов DD1 и MN. Скалярное произведение векторов. Как находят расстояние между точками? Угол между векторами. Вычисление углов между прямыми и плоскостями. Направляющий вектор прямой.

«Геометрия Лобачевского» - На рисунке буквы расположены параллельно (стоят прямо) или нет? Неевклидова геометрия единственно правильная? Риманова геометрия получила своё название по имени Б.Римана, который заложил её основы в 1854. Наука никогда не будет стоять на месте. На рисунке изображена спираль или несколько окружностей?

«Равнобедренный треугольник» - Боковая сторона. BD - медиана. Высота. Основание. Равнобедренный треугольник. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. АВ и ВС – боковые стороны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. BD - высота. ВD - биссектриса. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

Всего в теме 15 презентаций

На этом уроке мы рассмотрим тетраэдр и его элементы (ребро тетраэдра, поверхность, грани, вершины). И решим несколько задач на построение сечений в тетраэдре, используя общий метод для построения сечений.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре

Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС . Произвольную точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.

Рис. 1. Тетраэдр АВСD

Элементы тетраэдра
А, B , C , D - вершины тетраэдра .
AB , AC , AD , BC , BD , CD - ребра тетраэдра .
ABC , ABD , BDC , ADC - грани тетраэдра .

Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра , и тогда точка D является вершиной тетраэдра . Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ - это пересечение плоскостей АВ D и АВС . Каждая вершина тетраэдра - это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС , АВ D , А D С . Точка А - это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВ D ∩ АС D .

Тетраэдр определение

Итак, тетраэдр - это поверхность, образованная четырмя треугольниками.

Ребро тетраэдра - линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.

Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек - это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.

Дан тетраэдр АВС D . Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ , точка N принадлежит ребру тетраэдра В D и точка Р принадлежит ребру D С (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP .

Рис. 2. Рисунок к задаче 2 - Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение :
Рассмотрим грань тетраэдра D ВС . В этой грани точки N и P принадлежат грани D ВС , а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP - это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани D ВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости D ВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС . Обозначим ее Е (Рис. 3.).

Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е

Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP , так как она лежит на прямой NР , а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP .

Также точка Е лежит в плоскости АВС , потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС .

Получаем, что ЕМ - линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е , и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС . Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q .

Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.

Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2

Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC . Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС , то прямая NP параллельна всей плоскости АВС .

Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP , параллельную плоскости АВС , и пересекает плоскость по прямой МQ . Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP . Получаем, NPQМ - искомое сечение.

Точка М лежит на боковой грани А D В тетраэдра АВС D . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС .

Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ , АС , ВС .
В плоскости АВ D через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВ D . Аналогично в плоскости АС D через точку Р проведем прямую РR параллельно АС . Получили точку R . Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС , значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR - искомое сечение. Задача решена.

Дан тетраэдр АВС D . Точка М - точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВ D . N - внутренняя точка отрезка D С (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС .

Рис. 6. Рисунок к задаче 4

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость D МN . Пусть прямая D М пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СК D - это сечение плоскости D МN и тетраэдра. В плоскости D МN лежит и прямая NM , и полученная прямая СК . Значит, если NM не параллельна СК , то они пересекутся в некоторой точке Р . Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС .

Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4

Дан тетраэдр АВС D . М - внутренняя точка грани АВ D . Р - внутренняя точка грани АВС . N - внутренняя точка ребра D С (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М , N и Р .

Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС . В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС . Это точка К , она получена с помощью вспомогательной плоскости D МN , т.е. мы проводим D М и получаем точку F . Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К .

Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К

Проведем прямую КР . Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС . Получаем точки Р 1 и Р 2 . Соединяем Р 1 и М и на продолжении получаем точку М 1 . Соединяем точку Р 2 и N . В результате получаем искомое сечение Р 1 Р 2 NМ 1 . Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС . Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р 1 Р 2 , тогда прямая Р 1 Р 2 параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).

Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение

Теперь проведем прямую Р 1 М и получим точку М 1 . Р 1 Р 2 NМ 1 - искомое сечение.

Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)

2. Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики

Дополнительные веб-ресурсы

2. Как построить сечение тетраэдра. Математика ().

3. Фестиваль педагогических идей ().

Сделай дома задачи по теме "Тетраэдр", как находить ребро тетраэдра, грани тетраэдра, вершины и поверхность тетраэдра

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. Задания 18, 19, 20 стр. 50

2. Точка Е середина ребра МА тетраэдра МАВС . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и Е .

3. В тетраэдре МАВС точка М принадлежит грани АМВ, точка Р - грани ВМС, точка К - ребру АС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, Р, К.

4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью тетраэдра?

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение . Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√" . Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида у которой все грани являются равносторонними треугольниками.

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Основные формулы для правильного тетраэдра приведены в таблице.

Где:
S - Площадь поверхности правильного тетраэдра
V - объем
h - высота, опущенная на основание
r - радиус вписанной в тетраэдр окружности
R - радиус описанной окружности
a - длина ребра

Практические примеры

Задача .
Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3

Решение .
Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны - она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a 2 √3 .
Тогда
S = 3√3

Ответ : 3√3

Задача .
Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем пирамиды

Решение .
Поскольку в правильной треугольной пирамиде высота пирамиды проецируется в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности, то

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh
При этом площадь основания найдем по формуле S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2 / 3

Ответ : 16√2 / 3 см

mob_info